Мария Гаетана Аниези (Maria Gaetana Agnesi, 1718-1799) е италиански математик, лингвист и философ. Тя е една от най-значимите жени в историята на математиката. Добива популярност главно с учебника си “Instituzioni analitiche ad uso della gioventu italiana” (“Основи на анализа за употреба от италианската младеж”) и изучаваната от нея в този учебник кубична крива, наречена крива (къдрица, версиера) на Аниези. Можете да прочетете повече за живота й в Wikipedia.

Дефиниране на кривата и скаларно-параметрично уравнение

Нека относно декартова координатна система Oxy е дадена окръжност k с диаметър 2a. За удобство разполагаме тази окръжност относно Oxy по показания на фиг. 1 начин. Тогава центърът й е т. C с координати (0,a). През диаметрално противоположната точка D (0,2a) на координатното начало е прекарана допирателна t към окръжността. Лъч s с начало т. O пресича окръжността и допирателната съответно в точките A и B. През т. A е прекарана права, успоредна на допирателната t, а през т. B – права, успоредна на диаметъра OD. Нека двете прави се пресичат в т. M. Когато лъчът s изменя своето положение, т. M описва крива, наречена къдрица на Аниези.

Фиг. 1. Къдрицата на Аниези е кривата линия, симетрична на ординатната ос с асимптота абсцисната ос.

За намирането на скаларно-параметричното уравнение на тази крива, е удобно за параметър да изберем ъгъла, който лъчът s сключва с положителната посока на оста Ox (или на оста Oy). Да се спрем на първия вариант и да означим този ъгъл с q (фиг. 1). Търсим координатите на произволна точка от кривата, т.е. на т. M (x_M,y_M), зададени като функции на q. Имаме x_M = ON = BD = 2a cotg q (от правоъгълния триъгълник OBD). За намиране на ординатата на т. M използваме, че y_M = MN = y_A = OA sin q. Дължината на отсечката OA може да бъде намерена лесто от равнобедрения триъгълник OAC с помощта на синусова теорема: OA / sin 2q = OC / sin (90-q), т.е. OA = 2a sin q. Тогава y_M = 2a sin² q. Окончателно за радиус-вектора r = OM на произволна точка от кривата получаваме r (2a cotg q, 2a sin² q).

Ако за параметър бъде избран ъгъла между лъча s и оста Oy, параметризацията на къдрицата е
r (2a tg q, 2a cos² q). И в двата случая параметърът q се изменя в интервал с дължина π, например [0, π]. Тук можете да видите как се изменя формата на кривата при промяна на радиуса на окръжността, както и да разгледате еволютата й.

Горната задача може да се реши и със средствата на аналитичната геометрия. Допирателната t има уравнение y = 2a, a правата OB e с уравнение y = x tg q. Решавайки системата от уравненията на тези две прави, намираме координатите на пресечната им точка B (2a cotg q, 2a). Аналогично, като имаме предвид, че окръжността k има уравнение x² + (y-a)² = a², пресмятаме и координатите на пресечната й точка с правата OB – т. A (2a sin q cos q, 2a sin² q).

Използвайки параметризацията, можете да проверите, че явното уравнение на къдрицата е

Любопитно

Къдрицата на Аниези на английски език се нарича the witch of Agnesi, т.е. “вещицата на Аниези”. Кривата носи това име поради грешка, допусната при превода от италиански на английски език. Първите данни за изучаването на тази крива са от трудовете на Пиер дьо Ферма и Гуидо Гранди. През 1703 г. Гранди нарича кривата versoria, което на латински означава корабно въже, използвано за управление на платната, а на италиански може да се преведе като “свободна да се движи във всички посоки”. В своя учебник по анализ Мария Аниези кръщава кривата la versiera, което се предполага, че произхожда от глагола vertere – въртя, завъртам. Когато през 1801г. Джон Калсън превежда името на кривата, обърква думата “la versiera” с “avversiera”, което от италиански (стар стил) се превежда “жена на дявола”, “вещица”. Повече за това езиково недоразумение можете да прочетете тук.

Задача

Опитайте се да намерите едно обобщение на къдрицата на Аниези, като вместо за окръжност, я построите за елипса.

Отг. Ако елипсата е с уравнение b² x² + a² (y-b)² = a² b^²,  a > b, кривата на Аниезе ще се определя от r (2b cotg q, 2a²b tg² t/(b² + a² tg² t) ). Можете да сравните графиките на две примерни къдрици, като разгледате този pdf-файл, изготвен с помощта на Mathematica, или направо Mathematica notebook-а.