Archive for category Диференциална геометрия

Основни команди за изчертаване на криви и повърхнини в Mathematica

 

1. Изчертаване на равнинни криви


В случай, че кривата, която искаме да изчертаем, е зададена с уравнение от вида y = f(x), можем да използваме командата

Plot[f,{x,xmin,xmax}].

В къдравите скоби “{}” след уравнението на кривата първо се посочва буквата, с която е означена променливата и интервалът [xmin,xmax], в който тя се изменя. Например, ако искаме да построим графиката на параболата y = x2 +  2x за стойности на x в интервала [-4,2], командата, която използваме, е

Plot[x^2+2x,{x,-4,2}]. 

След натискане на Shift+Enter, получаваме


За крива, зададена чрез векторно-параметричното си уравнение r = r (x(t),y(t)), където t е реален параметър, използваме командата

ParametricPlot[{x(t),y(t)},{t,tmin,tmax}].

Координатните фукции x(t) и y(t) на радиус-вектора на кривата се разделят със запетая и се ограждат в “{}”. След тях се изписва интервалът на изменение на параметъра t. Например, за изчертаване на елипсата r = (2Cos t, Sin t) с неявно уравнение x2/4 + y2 = 1, използваме командата

ParametricPlot[{2Cos[t],Sin[t]},{t,0,2Pi}].

Забележете синтаксиса на вградените в Mathematica функции – изписват се с главна буква, а аргументът им се загражда в квадратни скоби “[]”. Още примери от страницата на Wolfram.

В някои случаи е по-удобно са се използват полярни координати, вместо декартови (дотук използвахме декартови). Нека си припомним, че полярните координати на точка в равнината са ρ – дължината на радиус-вектора й (разстоянието от точката до началото на координатната система) и θ – ъгълът (мерен в радиани), който този радиус-вектор сключва с положителната посока на абсцисната ос. Тогава на лице е следната зависимост между декартови координати (x,y) и полярни координати (ρ,θ): x = ρ cos θ, y = ρ sin θ.

Ако кривата е зададена с уравнение от вида ρ = f(θ), командата, която можем да използваме, е следната

PolarPlot[f,{t,tmin,tmax}] (за удобство сме заменили θ с t).

Едно интересно семейство криви, чиито представители обикновено се задават в полярни координати, са розите (на англ. език rose curves или rhodonea curves). Дефинират се с едно от уравненията ρ = cos (kθ) или ρ = sin (kθ). В случай на цяло и четно k, броят на венчелистчетата е 2k (за стойтости на θ в интервал с дължина 2π) , а за цели и нечетни стойности на k, броят на венчелистчетата на розата е k (θ се изменя в интервал с дължина π).

За да изчертаем роза с 16 венчелистчета, използваме командата

PolarPlot[Cos[8t],{t,0,2Pi}].


Роза

На страницата на Mathworld на Wolfram можете да разгледате какви “цветя” се получават за някои “по-екзотични” стойности на k, например за k = e, π  и т.н.

 

 

2. Изчертаване на пространствени криви

 

За пространствени криви, зададени с векторно-параметрично уравнение r = r(x(t),y(t),z(t)), използваме командата

ParametricPlot3D[{x(t),y(t),z(t)},{t,tmin,tmax}].

Ето пример с витловата линия (helix на англ. ез.)  r = r(cos t, sin t, t/2). За да изчертаем частта от кривата за стойностти на t в интервала [0,4π], изпълняваме

ParametricPlot3D[{Cos[t],Sin[t],0.5t},{t,0,4Pi}].


Витлова линия

 

От тук можете да изтеглите файла (Mathematica notebook, .nb) с горните примери.

 

Следва продължение…

Къдрицата на Аниези (The Witch of Agnesi)

 

Мария Гаетана Аниези (Maria Gaetana Agnesi, 1718-1799) е италиански математик, лингвист и философ. Тя е една от най-значимите жени в историята на математиката. Добива популярност главно с учебника си “Instituzioni analitiche ad uso della gioventu italiana” (“Основи на анализа за употреба от италианската младеж”) и изучаваната от нея в този учебник кубична крива, наречена крива (къдрица, версиера) на Аниези. Можете да прочетете повече за живота й в Wikipedia.


Дефиниране на кривата и скаларно-параметрично уравнение

Нека относно декартова координатна система Oxy е дадена окръжност k с диаметър 2a. За удобство разполагаме тази окръжност относно Oxy по показания на фиг. 1 начин. Тогава центърът й е т. C с координати (0,a). През диаметрално противоположната точка D (0,2a) на координатното начало е прекарана допирателна t към окръжността. Лъч s с начало т. O пресича окръжността и допирателната съответно в точките A и B. През т. A е прекарана права, успоредна на допирателната t, а през т. B – права, успоредна на диаметъра OD. Нека двете прави се пресичат в т. M. Когато лъчът s изменя своето положение, т. M описва крива, наречена къдрица на Аниези.

Фиг. 1. Къдрицата на Аниези е кривата линия, симетрична на ординатната ос с асимптота абсцисната ос.

За намирането на скаларно-параметричното уравнение на тази крива, е удобно за параметър да изберем ъгъла, който лъчът s сключва с положителната посока на оста Ox (или на оста Oy). Да се спрем на първия вариант и да означим този ъгъл с q (фиг. 1). Търсим координатите на произволна точка от кривата, т.е. на т. M (xM,yM), зададени като функции на q. Имаме xM = ON = BD = 2a cotg q (от правоъгълния триъгълник OBD). За намиране на ординатата на т. M използваме, че yM = MN = yA = OA sin q. Дължината на отсечката OA може да бъде намерена лесто от равнобедрения триъгълник OAC с помощта на синусова теорема: OA / sin 2q = OC / sin (90-q), т.е. OA = 2a sin q. Тогава yM = 2a sin2 q. Окончателно за радиус-вектора r = OM на произволна точка от кривата получаваме r (2a cotg q, 2a sin2 q).

Ако за параметър бъде избран ъгъла между лъча s и оста Oy, параметризацията на къдрицата е
r (2a tg q, 2a cos2 q). И в двата случая параметърът q се изменя в интервал с дължина π, например [0, π]. Тук можете да видите как се изменя формата на кривата при промяна на радиуса на окръжността, както и да разгледате еволютата й.

Горната задача може да се реши и със средствата на аналитичната геометрия. Допирателната t има уравнение y = 2a, a правата OB e с уравнение y = x tg q. Решавайки системата от уравненията на тези две прави, намираме координатите на пресечната им точка B (2a cotg q, 2a). Аналогично, като имаме предвид, че окръжността k има уравнение x2 + (y-a)2 = a2, пресмятаме и координатите на пресечната й точка с правата OB – т. A (2a sin q cos q, 2a sin2 q).

Използвайки параметризацията, можете да проверите, че явното уравнение на къдрицата е

Любопитно

Къдрицата на Аниези на английски език се нарича the witch of Agnesi, т.е. “вещицата на Аниези”. Кривата носи това име поради грешка, допусната при превода от италиански на английски език. Първите данни за изучаването на тази крива са от трудовете на Пиер дьо Ферма и Гуидо Гранди. През 1703 г. Гранди нарича кривата versoria, което на латински означава корабно въже, използвано за управление на платната, а на италиански може да се преведе като “свободна да се движи във всички посоки”. В своя учебник по анализ Мария Аниези кръщава кривата la versiera, което се предполага, че произхожда от глагола vertere – въртя, завъртам. Когато през 1801г. Джон Калсън превежда името на кривата, обърква думата “la versiera” с “avversiera”, което от италиански (стар стил) се превежда “жена на дявола”, “вещица”. Повече за това езиково недоразумение можете да прочетете тук.


Задача

Опитайте се да намерите едно обобщение на къдрицата на Аниези, като вместо за окръжност, я построите за елипса.

Отг. Ако елипсата е с уравнение b2 x2 + a2 (y-b)2 = a2 b^2,  a > b, кривата на Аниезе ще се определя от r (2b cotg q, 2a2b tg2 t/(b2 + a2 tg2 t) ). Можете да сравните графиките на две примерни къдрици, като разгледате този pdf-файл, изготвен с помощта на Mathematica, или направо Mathematica notebook-а.

Свръхелипси (Superellipses)

Здравейте, Колеги от спец. “Приложна математика”!

Както ви обещах, слагам тук линк към страницата, където и вие можете да се вживеете в ролята на датския математик Пит Хайн (Piet Hein) и да си изчертаете свръхелипса по ваш вкус. За площада му Сергелс Торг (Sergels Torg) в столицата на Швеция Стоклохм можете да прочетете повече тук.

Суперформулата се явява едно обобщение на свърхелипсата. С нейна помощ можете да се изчертаете богато разнообразие от красиви форми, някои от които се срещат в природата. Начертайте вашата любима форма тук.

Повече за математиката, криеща се зад тези форми, можете да научите от статията на автора на суперформулата – Johan Gielis, A generic geometric transformation that unifies a wide range of natural and abstract shapes, American Journal of Botany 90(3), 2003 (изтеглете статията в PDF-формат от тук).

Това е моята любима суперформа. Напомня ми на звезда, която се взривява като свръхнова.
sn