Marta's Blog

Mathematics is the language of nature

Archive for April, 2011

Живот в мултивселената

Apr 30

Posted by Марта in Астрономия и космология, Екзопланети | Comments off

looking-for-life-in-the-multiverse_1Много интересна статия от Scientific American, January, 2010, разглеждаща възможностите за съществуването на паралелни вселени, в които липсват някои от четирите фундаментални сили – гравитационното, електромагнитно, силното ядрено и слабото ядрено взаимодействие. Би ли бил възможен и как би изглеждал животът във вселена, лишена от слабото ядрено взаимодействие? Ето няколко от основните разлики.

Звездите в нашата вселена светят, синтезирайки хелий от четири протона (водородни ядра), като при това два от протоните се превръщат в неутрони. Но във вселена без слабо ядрено взаимодействие последният процес би бил невъзможен. Означава ли това, че в такава вселена няма да има звезди, следователно няма да има разнообразие от химични елементи и живот? Учените казват – не задължително. Малка промяна в началните параметри на вселената би й помогнала да избегне това неблагоприятно обстоятелство. Става дума за параметъра, контролиращ съотношението материя/антиматерия. Малка настройка  на стойността на този параметър би подсигурила при големия взрив да се образува достатъчно количество деутерий (водород-2) – изотоп на водорода, чието ядро е съставено от един протон и един неутрон. Звездите във вселена без слабо взаимодействие биха могли да светят чрез термоядрен синтез на хелий-3 от протон и деутерий. Такива звезди биха били по-студени от звездите в нашата вселена. Компютърни симулации показват, че животът им би траел около седем милиарда години. Планета с размерите на Земята би трябвало да бъде шест пъти по-близо до звездата си, за да поддържа същата температура като на нашата планета. Но такава близост носи последствия. Според една група немски учени – доста неприятни последствия за надеждите за откриване на живот на такава планета дори и в нашата вселена, както пише в тази статия. Едно от последствията е т. нар. синхронно въртене, което се наблюдава в системата Земя-Луна – времето за едно завъртане на планетата около оста  й съвпада с времето за една обиколка около звездата. Така едната страна на планетата винаги би била огряна от светлина на звездата, докато на другата би била вечна нощ.

Планети от земен тип във вселена без слабо ядрено взаимодействие биха се различавали значително от нашата. Движението на тектонските плочи и вулканичната дейност на Земята се поддържат от радиоактивния разпад на уран и торий в земните недра. Но образуването на тези тежки елементи е невъзможно в такава вселена. Освен ако гравитационни процеси не осигурят алтернативен източник на енергия, както се случва на някои от луните на Юпитер и Сатурн, планета от земен тип в свят без слабо взаимодействие би била доста скучна от геоложка гледна точка. От гледна точка на химията обаче не би имало големи различия. Периодичната таблица на такава планета би свършвала с желязото, с изключение на незначителни количества от някои по-тежки елементи, но  според учените това не би попречило на развитието на форми на живот, подобни на тези на Земята. Според друга теория обаче движението на тектонските плочи и вулканичната дейност са от съществено значение за появата  и еволюцията на по-сложни форми на живот. Чрез т. нар. субдукционни вулкани двата процеса участват активно в кръговрата на един от най-важните парникови газове – въглеродния двуокис, а от там и в поддържането на постоянна температура на повърхността на Земята. Средната температура на земната повърхност е около 15°C. Без слоя си от парникови газове Земята би заприличала на Марс, чиято средна температура е -55°C.

Основни команди за изчертаване на криви и повърхнини в Mathematica

Apr 13

Posted by Марта in Диференциална геометрия, Криви, Повърхнини | Comments off

 

1. Изчертаване на равнинни криви


В случай, че кривата, която искаме да изчертаем, е зададена с уравнение от вида y = f(x), можем да използваме командата

Plot[f,{x,xmin,xmax}].

В къдравите скоби “{}” след уравнението на кривата първо се посочва буквата, с която е означена променливата и интервалът [xmin,xmax], в който тя се изменя. Например, ако искаме да построим графиката на параболата y = x2 +  2x за стойности на x в интервала [-4,2], командата, която използваме, е 

Plot[x^2+2x,{x,-4,2}].

След натискане на Shift+Enter, получаваме


За крива, зададена чрез векторно-параметричното си уравнение r = r (x(t),y(t)), където t е реален параметър, използваме командата

ParametricPlot[{x(t),y(t)},{t,tmin,tmax}].

Координатните фукции x(t) и y(t) на радиус-вектора на кривата се разделят със запетая и се ограждат в “{}”. След тях се изписва интервалът на изменение на параметъра t. Например, за изчертаване на елипсата r = (2Cos t, Sin t) с неявно уравнение x2/4 + y2 = 1, използваме командата 

ParametricPlot[{2Cos[t],Sin[t]},{t,0,2Pi}].

Забележете синтаксиса на вградените в Mathematica функции – изписват се с главна буква, а аргументът им се загражда в квадратни скоби “[]”. Още примери от страницата на Wolfram.

В някои случаи е по-удобно са се използват полярни координати, вместо декартови (дотук използвахме декартови). Нека си припомним, че полярните координати на точка в равнината са ρ – дължината на радиус-вектора й (разстоянието от точката до началото на координатната система) и θ – ъгълът (мерен в радиани), който този радиус-вектор сключва с положителната посока на абсцисната ос. Тогава на лице е следната зависимост между декартови координати (x,y) и полярни координати (ρ,θ): x = ρ cos θ, y = ρ sin θ.

Ако кривата е зададена с уравнение от вида ρ = f(θ), командата, която можем да използваме, е следната

PolarPlot[f,{t,tmin,tmax}] (за удобство сме заменили θ с t).

Едно интересно семейство криви, чиито представители обикновено се задават в полярни координати, са розите (на англ. език rose curves или rhodonea curves). Дефинират се с едно от уравненията ρ = cos (kθ) или ρ = sin (kθ). В случай на цяло и четно k, броят на венчелистчетата е 2k (за стойтости на θ в интервал с дължина 2π) , а за цели и нечетни стойности на k, броят на венчелистчетата на розата е k (θ се изменя в интервал с дължина π).

За да изчертаем роза с 16 венчелистчета, използваме командата 

PolarPlot[Cos[8t],{t,0,2Pi}].


Роза

На страницата на Mathworld на Wolfram можете да разгледате какви “цветя” се получават за някои “по-екзотични” стойности на k, например за k = e, π  и т.н.

 

 

2. Изчертаване на пространствени криви

 

За пространствени криви, зададени с векторно-параметрично уравнение r = r(x(t),y(t),z(t)), използваме командата

ParametricPlot3D[{x(t),y(t),z(t)},{t,tmin,tmax}].

Ето пример с витловата линия (helix на англ. ез.)  r = r(cos t, sin t, t/2). За да изчертаем частта от кривата за стойностти на t в интервала [0,4π], изпълняваме 

ParametricPlot3D[{Cos[t],Sin[t],0.5t},{t,0,4Pi}].


Витлова линия

 

От тук можете да изтеглите файла (Mathematica notebook, .nb) с горните примери.

 

Следва продължение…