Marta's Blog

Контролна работа (2012г.) – резултати

May 27

Posted by Марта in Uncategorized | Comments off

Контролната работа за освобождаване от задачи на изпита по Диференциална геометрия за III курс спец. Математика и Приложна математика ще се проведе на 12.06.2012 (вторник) от 10:00 часа в 233 с.з. Студентите, получили оценка по-висока или равна на 4.00 от тази контролна работа, се освобождават от задачи на крайния изпит и се явяват само върху теория. Разбира се, при тяхно желание могат да се явят повторно върху задачи на крайния изпит за повишаване на оценката от тази компонента.

Резултати от контролната работа, проведена на 12.06.2012г.

Специалност Математика

Боряна, 0901051002 – 29т., Мн. Добър 4.90. Освободена

Пепа, 0901051004 – 33т., Мн. Добър 5.30. Освободена

Ангел, 0901051005 – 27т., Мн. Добър 4.70. Освободен

Василка, 0901051007 – 27т., Мн. Добър 4.70. Освободена

Йорданка, 0901051008 – 22т., Добър 4.20. Освободена

Василка, 0901051012 – 37т., Отличен 5.80. Освободена

Беррин, 0901051018 – 27т., Мн. Добър 4.70. Освободена

Ирина, 0901051020 – 20т., Добър 4.00. Освободена

Специалност Приложна математика

Камелия, 0901391004 – 4т., Слаб 2.00.

Лазарина, 0901391008 – 0т., Слаб 2.00.

Мария, 0901391009 – 0т., Слаб 2.00.

Петко, 0901391011 – 22т., Добър 4.20. Освободен

Лилия, 0901391012 – 35т., Отличен 5.50. Освободена

Лили, 0901391018 – 2т., Слаб 2.00.

Албена, 0901391019 – 35т., Отличен 5.50. Освободена

Илия, 0901391023 – 22т., Добър 4.20. Освободен

Софка, 0901391032 – 40т., Отличен 6.00. Освободена

Лиляна, 0901391042 – 30т., Мн. Добър 5.00. Освободена

Оценки от контролна работа (2011г.)

Jun 7

Posted by Марта in Uncategorized | Comments off

Привет, Колеги!

Ето оценките от контролната, проведена днес – http://web.uni-plovdiv.bg/marta/Diffgeom/results.pdf.

Припомням ви, че освобождаването от задачи на изпита става с оценка над 4.50 от тази контролна. Разбира се, желаещите да повишат оценката си могат отново да се явят на задачи на изпита. В противен случай се явяват направо на теория при проф. Златанов. Неосвободените колеги се явяват първо на задачи на датата на изпита.

Живот в мултивселената

Apr 30

Posted by Марта in Астрономия и космология, Екзопланети | Comments off

Много интересна статия от Scientific American, January, 2010, разглеждаща възможностите за съществуването на паралелни вселени, в които липсват някои от четирите фундаментални сили – гравитационното, електромагнитно, силното ядрено и слабото ядрено взаимодействие. Би ли бил възможен и как би изглеждал животът във вселена, лишена от слабото ядрено взаимодействие? Ето няколко от основните разлики.

Звездите в нашата вселена светят, синтезирайки хелий от четири протона (водородни ядра), като при това два от протоните се превръщат в неутрони. Но във вселена без слабо ядрено взаимодействие последният процес би бил невъзможен. Означава ли това, че в такава вселена няма да има звезди, следователно няма да има разнообразие от химични елементи и живот? Учените казват – не задължително. Малка промяна в началните параметри на вселената би й помогнала да избегне това неблагоприятно обстоятелство. Става дума за параметъра, контролиращ съотношението материя/антиматерия. Малка настройка на стойността на този параметър би подсигурила при големия взрив да се образува достатъчно количество деутерий (водород-2) – изотоп на водорода, чието ядро е съставено от един протон и един неутрон. Звездите във вселена без слабо взаимодействие биха могли да светят чрез термоядрен синтез на хелий-3 от протон и деутерий. Такива звезди биха били по-студени от звездите в нашата вселена. Компютърни симулации показват, че животът им би траел около седем милиарда години. Планета с размерите на Земята би трябвало да бъде шест пъти по-близо до звездата си, за да поддържа същата температура като на нашата планета. Но такава близост носи последствия. Според една група немски учени – доста неприятни последствия за надеждите за откриване на живот на такава планета дори и в нашата вселена, както пише в тази статия. Едно от последствията е т. нар. синхронно въртене, което се наблюдава в системата Земя-Луна – времето за едно завъртане на планетата около оста й съвпада с времето за една обиколка около звездата. Така едната страна на планетата винаги би била огряна от светлина на звездата, докато на другата би била вечна нощ.

Планети от земен тип във вселена без слабо ядрено взаимодействие биха се различавали значително от нашата. Движението на тектонските плочи и вулканичната дейност на Земята се поддържат от радиоактивния разпад на уран и торий в земните недра. Но образуването на тези тежки елементи е невъзможно в такава вселена. Освен ако гравитационни процеси не осигурят алтернативен източник на енергия, както се случва на някои от луните на Юпитер и Сатурн, планета от земен тип в свят без слабо взаимодействие би била доста скучна от геоложка гледна точка. От гледна точка на химията обаче не би имало големи различия. Периодичната таблица на такава планета би свършвала с желязото, с изключение на незначителни количества от някои по-тежки елементи, но според учените това не би попречило на развитието на форми на живот, подобни на тези на Земята. Според друга теория обаче движението на тектонските плочи и вулканичната дейност са от съществено значение за появата и еволюцията на по-сложни форми на живот. Чрез т. нар. субдукционни вулкани двата процеса участват активно в кръговрата на един от най-важните парникови газове – въглеродния двуокис, а от там и в поддържането на постоянна температура на повърхността на Земята. Средната температура на земната повърхност е около 15°C. Без слоя си от парникови газове Земята би заприличала на Марс, чиято средна температура е -55°C.

Основни команди за изчертаване на криви и повърхнини в Mathematica

Apr 13

Posted by Марта in Диференциална геометрия, Криви, Повърхнини | Comments off

1. Изчертаване на равнинни криви

В случай, че кривата, която искаме да изчертаем, е зададена с уравнение от вида y = f(x), можем да използваме командата

Plot[f,{x,x_min,x_max}].

В къдравите скоби “{}” след уравнението на кривата първо се посочва буквата, с която е означена променливата и интервалът [x_min,x_max], в който тя се изменя. Например, ако искаме да построим графиката на параболата y = x² + 2x за стойности на x в интервала [-4,2], командата, която използваме, е

Plot[x^2+2x,{x,-4,2}].

След натискане на Shift+Enter, получаваме

За крива, зададена чрез векторно-параметричното си уравнение r = r (x(t),y(t)), където t е реален параметър, използваме командата

ParametricPlot[{x(t),y(t)},{t,t_min,t_max}].

Координатните фукции x(t) и y(t) на радиус-вектора на кривата се разделят със запетая и се ограждат в “{}”. След тях се изписва интервалът на изменение на параметъра t. Например, за изчертаване на елипсата r = (2Cos t, Sin t) с неявно уравнение x²/4 + y² = 1, използваме командата

ParametricPlot[{2Cos[t],Sin[t]},{t,0,2Pi}].

Забележете синтаксиса на вградените в Mathematica функции – изписват се с главна буква, а аргументът им се загражда в квадратни скоби “[]”. Още примери от страницата на Wolfram.

В някои случаи е по-удобно са се използват полярни координати, вместо декартови (дотук използвахме декартови). Нека си припомним, че полярните координати на точка в равнината са ρ – дължината на радиус-вектора й (разстоянието от точката до началото на координатната система) и θ – ъгълът (мерен в радиани), който този радиус-вектор сключва с положителната посока на абсцисната ос. Тогава на лице е следната зависимост между декартови координати (x,y) и полярни координати (ρ,θ): x = ρ cos θ, y = ρ sin θ.

Ако кривата е зададена с уравнение от вида ρ = f(θ), командата, която можем да използваме, е следната

PolarPlot[f,{t,t_min,t_max}] (за удобство сме заменили θ с t).

Едно интересно семейство криви, чиито представители обикновено се задават в полярни координати, са розите (на англ. език rose curves или rhodonea curves). Дефинират се с едно от уравненията ρ = cos (kθ) или ρ = sin (kθ). В случай на цяло и четно k, броят на венчелистчетата е 2k (за стойтости на θ в интервал с дължина 2π) , а за цели и нечетни стойности на k, броят на венчелистчетата на розата е k (θ се изменя в интервал с дължина π).

За да изчертаем роза с 16 венчелистчета, използваме командата

PolarPlot[Cos[8t],{t,0,2Pi}].

Роза

На страницата на Mathworld на Wolfram можете да разгледате какви “цветя” се получават за някои “по-екзотични” стойности на k, например за k = e, π и т.н.

2. Изчертаване на пространствени криви

За пространствени криви, зададени с векторно-параметрично уравнение r = r(x(t),y(t),z(t)), използваме командата

ParametricPlot3D[{x(t),y(t),z(t)},{t,t_min,t_max}].

Ето пример с витловата линия (helix на англ. ез.) r = r(cos t, sin t, t/2). За да изчертаем частта от кривата за стойностти на t в интервала [0,4π], изпълняваме

ParametricPlot3D[{Cos[t],Sin[t],0.5t},{t,0,4Pi}].

Витлова линия

От тук можете да изтеглите файла (Mathematica notebook, .nb) с горните примери.

Следва продължение…

Къдрицата на Аниези (The Witch of Agnesi)

Mar 24

Posted by Марта in Диференциална геометрия, Криви | Comments off

Мария Гаетана Аниези (Maria Gaetana Agnesi, 1718-1799) е италиански математик, лингвист и философ. Тя е една от най-значимите жени в историята на математиката. Добива популярност главно с учебника си “Instituzioni analitiche ad uso della gioventu italiana” (“Основи на анализа за употреба от италианската младеж”) и изучаваната от нея в този учебник кубична крива, наречена крива (къдрица, версиера) на Аниези. Можете да прочетете повече за живота й в Wikipedia.

Дефиниране на кривата и скаларно-параметрично уравнение

Нека относно декартова координатна система Oxy е дадена окръжност k с диаметър 2a. За удобство разполагаме тази окръжност относно Oxy по показания на фиг. 1 начин. Тогава центърът й е т. C с координати (0,a). През диаметрално противоположната точка D (0,2a) на координатното начало е прекарана допирателна t към окръжността. Лъч s с начало т. O пресича окръжността и допирателната съответно в точките A и B. През т. A е прекарана права, успоредна на допирателната t, а през т. B – права, успоредна на диаметъра OD. Нека двете прави се пресичат в т. M. Когато лъчът s изменя своето положение, т. M описва крива, наречена къдрица на Аниези.

Фиг. 1. Къдрицата на Аниези е кривата линия, симетрична на ординатната ос с асимптота абсцисната ос.

За намирането на скаларно-параметричното уравнение на тази крива, е удобно за параметър да изберем ъгъла, който лъчът s сключва с положителната посока на оста Ox (или на оста Oy). Да се спрем на първия вариант и да означим този ъгъл с q (фиг. 1). Търсим координатите на произволна точка от кривата, т.е. на т. M (x_M,y_M), зададени като функции на q. Имаме x_M = ON = BD = 2a cotg q (от правоъгълния триъгълник OBD). За намиране на ординатата на т. M използваме, че y_M = MN = y_A = OA sin q. Дължината на отсечката OA може да бъде намерена лесто от равнобедрения триъгълник OAC с помощта на синусова теорема: OA / sin 2q = OC / sin (90-q), т.е. OA = 2a sin q. Тогава y_M = 2a sin² q. Окончателно за радиус-вектора r = OM на произволна точка от кривата получаваме r (2a cotg q, 2a sin² q).

Ако за параметър бъде избран ъгъла между лъча s и оста Oy, параметризацията на къдрицата е
r (2a tg q, 2a cos² q). И в двата случая параметърът q се изменя в интервал с дължина π, например [0, π]. Тук можете да видите как се изменя формата на кривата при промяна на радиуса на окръжността, както и да разгледате еволютата й.

Горната задача може да се реши и със средствата на аналитичната геометрия. Допирателната t има уравнение y = 2a, a правата OB e с уравнение y = x tg q. Решавайки системата от уравненията на тези две прави, намираме координатите на пресечната им точка B (2a cotg q, 2a). Аналогично, като имаме предвид, че окръжността k има уравнение x² + (y-a)² = a², пресмятаме и координатите на пресечната й точка с правата OB – т. A (2a sin q cos q, 2a sin² q).

Използвайки параметризацията, можете да проверите, че явното уравнение на къдрицата е

Любопитно

Къдрицата на Аниези на английски език се нарича the witch of Agnesi, т.е. “вещицата на Аниези”. Кривата носи това име поради грешка, допусната при превода от италиански на английски език. Първите данни за изучаването на тази крива са от трудовете на Пиер дьо Ферма и Гуидо Гранди. През 1703 г. Гранди нарича кривата versoria, което на латински означава корабно въже, използвано за управление на платната, а на италиански може да се преведе като “свободна да се движи във всички посоки”. В своя учебник по анализ Мария Аниези кръщава кривата la versiera, което се предполага, че произхожда от глагола vertere – въртя, завъртам. Когато през 1801г. Джон Калсън превежда името на кривата, обърква думата “la versiera” с “avversiera”, което от италиански (стар стил) се превежда “жена на дявола”, “вещица”. Повече за това езиково недоразумение можете да прочетете тук.

Задача

Опитайте се да намерите едно обобщение на къдрицата на Аниези, като вместо за окръжност, я построите за елипса.

Отг. Ако елипсата е с уравнение b² x² + a² (y-b)² = a² b^², a > b, кривата на Аниезе ще се определя от r (2b cotg q, 2a²b tg² t/(b² + a² tg² t) ). Можете да сравните графиките на две примерни къдрици, като разгледате този pdf-файл, изготвен с помощта на Mathematica, или направо Mathematica notebook-а.

Десетте най-важни цели на медицината през следващото десетилетие

Dec 6

Posted by Марта in Медицина | Comments off

В следващите десет години медицинските изследвания ще бъдат съсредоточени в три основни области – имунна система, нервна система и обмяна на веществата. Десетте най-важни цели, които учените си поставят, са:

Картиране на обмяната на веществата – изследване на половин милион белтъци и огромно количество продукти на обмяната на веществата. Необходимо е да се определи значението на всяка молекула в организма за здравословното му състояние.

Разгадаване на процеса на старее на организма – да се изясни защо не само отделни клетки, но и организмът като цяло остарява в резултат на жизнените процеси. Известно е, че гладът и студът удължават продължителността на живота. Например, поставени при такива условия мишките доживяват до възраст, еквивалентна на 162 човешки години. Учените са в търсене на по-приятни начини за удължаване на живота.

Лечение на затлъстяването – възпалителни процеси в мастните натрупвания и нарушаване на биохимичното равновесие на организма са най-вероятните причини за затлъстяването. Първата стъпка в това направление вече е направена от американски учени през 2008г. Те установили, че негативните последствия от затлъстяването могат да бъдат контролирани с помощта на противовъзпалително вещество, подобно на аспирина, наречено салсалат – активен компонент в лекарства против главоболие.

Откриване на лекарство срещу рак – за получаването на лекарство, поразяващо раковите клетки и незасягащо здравите клетки на организма, учените го комбинират с антитела, способни да разпознават раковите клетки и да се прикрепят към тях. За тази цел е необходимо да бъдат разкодирани белтъците, разположени на повърхността на раковите клетки, а също и да бъдат разработени нови цитотиксини, поразяващи раковите клетки при непосредствен контакт с тях.

Откриване на ваксина против малария и СПИН – маларийният паразит претърпява сложен жизнен цикъл в организма на гостоприемника, изменяйки се постоянно, затова на имунната система й е трудно да го разпознае. Вирусът на ХИВ също постоянно мутира, но клиничните изпитания потвърждават, че учените са на прав път.

Разработване на ефективен антибиотик – с помощта на нови видове антибиотици учените се надяват да победят резистентността на бактериите. Необходима цел – намаляване на употребата на антибиотици по цял свят.

Прилагане на имунотерапия против склероза – болестта се счита за нелечима, защото веднъж набелязан противник не може да бъде забравен от имунната система. През 2009г. Ричард Берт от Северозападния университет в Чикаго разработва ново лечение за заболяването. След химиотерапия имунната система на пациентите му била напълно разрушена. Берт я възстановил с помощта на стволови клетки, които наново се научили да различават собствените клетки на организма от нашествениците. Но това лечение е твърде радикално. Учените търсят по-щадящо лечение на автоимунните заболявания.

Декодиране на мозъка – създаване на карта на взаимодействие на невроните на главния мозък е най-сложната задача, тъй като броят им е 100 милиарда.

Разработване на ваксина против алцхаймер – основният проблем при лечението на това заболяване е преодоляването на кръвно-мозъчната бариера, която възпрепятства проникването на лекарствените препарати от кръвта в мозъка.

Лечение на паркинсон – нарушения на биохимичното равновесие в централната част на мозъка водят до паркинсон. Традиционните методи за лечение са неефективни и освен това увреждат здрави части на мозъка. Учените разработват нови системи, които отчитат мозъчната дейност на пациента и се включват непосредствено преди поредния пристъп. Те също така се опитват да локализират невроните, участващи в развитието на паркинсон и да предотвратят треморите, като увеличават или намаляват активността на тези неврони.

По материали от сп. Science Illustrated.

Откриха втора планетна система с поне пет планети

Aug 30

Posted by Марта in Астрономия и космология, Екзопланети | Comments off

Артистична визуализация на планетната система около звездата HD 10180 (Източник: Wikipedia)

В периода 1996-2007 астрономи откриват пет планети в орбита около звездата 55 Cancri A (известна още като звездата Ро от съзвездието Рак). Ценната находка потвърждава стара хипотеза – съществуват и други планетни системи освен нашата. След шестгодишно проучване учените от Европейската Южна Обсеватория (ESO) в Ла Сила, Чили, се натъкнаха на втора система от поне пет планети, обикалящи около далечна звезда.

На около 127 светлинни години от нас, по посока на съзвездието Хидра, се намира звезда с името HD 10180. Тя прилича на нашето Слънце не само по спректралните си характеристики, но и по факта, че държи в гравитационната си прегръдка цяла планетна система. С помощта на спектрографа HARPS*, монтиран на 3.6-метровия телескоп на обсерваторията в Ла Сила, астрономите установили, че поне пет планети от типа на Нептун обикалят около звездата. “Това забележително откритие подчертава факта, че сега навлизаме в нова ера на екзопланетарни изследвания – изучаване на цели планетни системи, вместо на отделни планети. Изследването на движението на планетите в новооткритата система разкрива сложни гравитационни взаимодействия между планетите и ни позволява да надникнем в цялостната еволюция на системата”, споделя Кристоф Лови, авторът на статията, описваща откритието.

Масите на новооткритите планети варират между 13 и 25 земни маси. За сравнение, теглото на Уран възлиза на приблизително 14 земни маси, това на Нептун на 17, на Сатурн – 95, а на Юпитер – 318 земни маси. Орбиталните периоди на новооткритите планети варират между 6 и 600 земни дни, а орбитите им по форма са много близки до окръжности. Планетите се намират на разстояния от 0.06 до 1.4 AU от звездата си, т.е. не са по-отдалечени от нея в сравнение с Марс от нашето Слънце. Така тази система има във вътрешните си региони повече и по-масивни планети от нашата.

Но това не е всичко. Учените смятат, че в тази система има още две планети. Едната от тях прилича на Сатурн, с минимална маса от 65 земни маси и орбитален период от 2200 дни. Другата би била най-малката планета, откривана някога. Според измерванията нейната маса би възлизала на около 1.4 земни маси, а разстоянието, от което обикаля звездата си, би било една 2% от разстоянието между Земята и Слънцето. Една “година” на тези свръхгореща “Земя” би се равнявала на 1.18 земни дни. Друг интересен факт е, че в планетната система липсва газов гигант от ранга на Юпитер. “Системи с планети с малки маси като тази около звездата HD 10180 изглежда са доста често срещани, но процесът на образуването им остава загадка”, допълва Лови.

Използвайки новооткритата система, както и данни от други планетни системи, астрономите открили еквивалентен закон на закона на Тициус-Боде за Слънчевата система. Правилото на Боде било формулирано още преди откриването на Уран, Нептун и Плутон. Съгласно него всяка планета е отдалечена от звездата си приблизително два пъти повече в сравнение с по-вътрешния си съсед. Уран и Плутон потвърдили това правило, но Нептун не се вписал в него.

Друг важен резултат, потвърден от астрономите при изследването на планетната система на HD 10180, е връзката между масата на планетите в системата и масата и химичния състав на звездата. Всички планетни системи с големи маси обикалят около масивни и богати на метали звезди, дакато и четирите открити досега планетни системи с малки маси са в орбита около звезди с малки маси и бедни на метали. Астрономите наричат “метали” всички елементи освен водорода и хелия.

*Съкратено от High Accuracy Radial Velocity Planet Searcher, т.е. търсач на планети с висока точност по метода на радиалните скорости. Методът на радиалните скорости се базира на доплеровия ефект и измерва периодични изменения в светлината на звездата, предизвикани от наличието на обикаляща около нея планета. Движението на планетата по нейната орбита кара и звездата да се движи минимално, т.е. да се отдалечава и приближава към наблюдателя. Гледано от Земята, лекото потрепване на звездата се изразява в периодична промяна на цвета на светлината, идваща от нея. Чрез този метод може да бъде установена минималната маса на планетата, орбиталният й период, както и ексцентрицитета на нейната обрита. Засега това е най-успешният метод за засичане на планети около звезди. С негова помощ през последните 15 години са открити над 400 планети в повече от 300 планетни системи. Повечето от тях са от типа “горещ Юпитер” – планети с масата на Юпитер и по-голяма, обикалящи около звездата си на разстояние по-малко от 1 AU (Astronomical unit; 1 AU е приблизително равна на средното разстояние между Земята и Слънцето).

Източник: http://www.eso.org/public/news/eso1035/.

Още по темата “Планети извън Слънчевата система” тук.

Свръхелипси (Superellipses)

Apr 29

Posted by Марта in Диференциална геометрия, Криви | Comments off

Здравейте, Колеги от спец. “Приложна математика”!

Както ви обещах, слагам тук линк към страницата, където и вие можете да се вживеете в ролята на датския математик Пит Хайн (Piet Hein) и да си изчертаете свръхелипса по ваш вкус. За площада му Сергелс Торг (Sergels Torg) в столицата на Швеция Стоклохм можете да прочетете повече тук.

Суперформулата се явява едно обобщение на свърхелипсата. С нейна помощ можете да се изчертаете богато разнообразие от красиви форми, някои от които се срещат в природата. Начертайте вашата любима форма тук.

Повече за математиката, криеща се зад тези форми, можете да научите от статията на автора на суперформулата – Johan Gielis, A generic geometric transformation that unifies a wide range of natural and abstract shapes, American Journal of Botany 90(3), 2003 (изтеглете статията в PDF-формат от тук).

Това е моята любима суперформа. Напомня ми на звезда, която се взривява като свръхнова.